Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Этапы подготовки и проведения эксперимента
I. Диагностический этап. Анализ затруднений учителя, изучение литературы, опыта преодоления аналогичных затруднений другими, анализ учебно-воспитательного процесса, выявление и формулировка противоречий, которые можно разрешить с помощью нововведения. Выявление проблемы и обоснование ее актуальност ...

Особенности педагогического контроля и оценки успеваемости учащихся
Закон Российской федерации "Об образовании" провозглашает в качестве одного из основных принципов государственной политики адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития учащихся. Педагогический контроль (ПК) является важнейшим компонентом педагогической системы и част ...

Развитие социальной сети и реализация социального партнерства с целью формирования социального поведения детей-сирот
Социальная среда представляет собой системокомплекс общечеловеческих и этнических ценностей, традиций, норм и правил поведения, регулирующих жизнедеятельность людей, определяющих рамки их социальной активности. Она, с одной стороны, является источником многих трудностей, связанных с процессом лично ...