Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Развитие количественных представлений у детей посредством литературных представлений
Как уже отмечалось ранее развитие у ребенка элементарных математических представлений проходит легче и эффективнее при использовании различных художественных произведений и игр на них основанных. Приведем несколько примеров: Задачи в стихах Задачи в стихотворной форме всегда нравятся ребятам больше ...

Принципы синергетики и проблема управления образованием
Синергетика в сфере образования и педагогики несет большой эвристический потенциал, дает не только новый язык для перевода известных положений и терминов, но и эволюционную методологию управления образовательным процессом с учетом феноменов самоорганизации в образовательном пространстве. Методологи ...

Методы физического развития детей. Механизм влияния танцевальных упражнений на развитие детей
Любой двигательный акт, независимо от того, выполняется ли он под контролем сознания, по приходу высших отделов коры больший полушарий мозга или осуществляются по механизму безусловного рефлекса, так или иначе, сопровождается развертыванием физиологических механизмов и биологических процессов обесп ...