Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Ясельная педагогика
Ясельная педагогика изучает закономерности и условия воспитания детей младенческого возраста. По своему возрасту это сравнительно молодая отрасль педагогики. Однако ее вес по мере проникновения научной мысли в секреты направленного влияния на ум, здоровье, эмоциональную, социальную сферы формирован ...

Психолого–педагогическая характеристика ребенка младшего школьного возраста
В современной системе воспитания младший школьный возраст охватывает период жизни ребенка от 7 до 10 – 11 лет (I – IV классы школы). В этот период происходит дальнейшее физическое и психофизиологическое развитие ребенка, обеспечивающее возможность систематического обучения в школе. Начало обучения ...

Исследование коммуникативных умений у детей с умственной отсталостью в степени дебильности
Исследование проводилось в специальной (коррекционной) общеобразовательной школе – интернате VIII вида. В исследовании принимали участие 15 учеников 1 класса (12 мальчиков, 3 девочки; возраст от 8 до 11 лет) и 15 учеников 4 класса (11 мальчиков, 4 девочки; возраст от 11 до 14 лет). Диагноз: олигофр ...