Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Обоснование понятия коммуникативной грамотности учащихся
Коммуникативная грамотность — знание правил общения, умение соотнести их с конкретной ситуацией (коммуникативным лотусом). Она включает культуру речи, языковую и речевую грамотность, знания о педагогике и психологии общения, знания о логике и этике общения. Коммуникативность — способность, склоннос ...

Двигательное обучение и тренировка
Очень близка к упражнениям тренировка, которую часто рассматривают как особую форму упражнений. В настоящее время под тренировкой принято понимать такие особенно интенсивные и планомерно ведущиеся упражнения, которые целиком и полностью служат достижению чисто спортивных целей, совершенствованию те ...

Урок как форма реализации личностно - ориентированного обучения у младших школьников
В истории образования известны такие формы организации обучения как: индивидуальное обучение, индивидуально-групповое, лекционно - семинарное, классно - урочная система, система взаимного обучения, бригадно - лабораторная система, метод проектов. Из всех этих форм основной в современной российской ...