Методика решения уравнений и неравенств

Докажем единственность отрицательного корня. Можно поступить следующим образом. Рассмотрим функции

.

Докажем, что если , то . (Из этого будет следовать наше утверждение, поскольку в данном случае возрастает везде, где .) {LINKS}

Имеем

.

Значит, при .

Утверждение доказано.

2. Найти все целые значения x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Область определения левой части неравенства . Значит, нам достаточно рассмотреть три значения x: 1, 2, 3.

Если , то левая часть равна .

Если , то .

Если , то .

Ответ. 1; 2.

3. Найти все целые x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Рассмотрим функцию .

Докажем, что, начиная с некоторого x, f (x) возрастает. Это можно было сделать обычным путем, оценивая производную. Мы сделаем иначе. Нам достаточно доказать возрастание функции для целых x, т.е. что

.

Имеем

.

Последнее неравенство выполняется при , т.е. для всех допустимых целых x.

Нам осталось найти наибольшее целое, для которого (или наименьшее, для которого ).

Докажем, что

. Далее,.

Ответ. -1, 0, 1, 2 [22].

Тригонометрические уравнения.

К нестандартным следует отнести также уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1. Решить уравнение:.

Решение. По определению обратных тригонометрических функций

. Найдем .

Эта задача сводится к следующей: «Найти cos α, если и

()».

Великая педагогика:

Образовательные модели на современном этапе
Современные исследования по проблеме активных форм обучения демонстрируют четко выраженную оппозицию традиционной парадигме профессионального образования вузе. Она представлена континуумом мнений, в котором радикально негативную позицию занимает американский психолог Карл Роджерс, считая ее несосто ...

Этапность, средства, методы и приемы формирования коммуникативных умений у детей старшего дошкольного возраста
Современные исследователи предлагают различные способы формирования коммуникативных умений у детей при организации на практике совместной деятельности взрослого с детьми. В частности, Н.А. Короткова раскрывает такие способы, как тематическое планирование видов детской деятельности и мотивация с исп ...

Социальная работа как специфическое общественное явление
Осуществление радикальных реформ в экономике и политической жизни, социальной и культурной практике, изменения произошедшие за последние десятилетие в жизни нашего общества, да и в мире в целом породили ряд проблем справиться с которыми человек, без посторонней помощи зачастую не в состоянии. Сегод ...