Методика решения уравнений и неравенств

Докажем единственность отрицательного корня. Можно поступить следующим образом. Рассмотрим функции

.

Докажем, что если , то . (Из этого будет следовать наше утверждение, поскольку в данном случае возрастает везде, где .) {LINKS}

Имеем

.

Значит, при .

Утверждение доказано.

2. Найти все целые значения x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Область определения левой части неравенства . Значит, нам достаточно рассмотреть три значения x: 1, 2, 3.

Если , то левая часть равна .

Если , то .

Если , то .

Ответ. 1; 2.

3. Найти все целые x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Рассмотрим функцию .

Докажем, что, начиная с некоторого x, f (x) возрастает. Это можно было сделать обычным путем, оценивая производную. Мы сделаем иначе. Нам достаточно доказать возрастание функции для целых x, т.е. что

.

Имеем

.

Последнее неравенство выполняется при , т.е. для всех допустимых целых x.

Нам осталось найти наибольшее целое, для которого (или наименьшее, для которого ).

Докажем, что

. Далее,.

Ответ. -1, 0, 1, 2 [22].

Тригонометрические уравнения.

К нестандартным следует отнести также уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1. Решить уравнение:.

Решение. По определению обратных тригонометрических функций

. Найдем .

Эта задача сводится к следующей: «Найти cos α, если и

()».

Великая педагогика:

Определение восприятия
Мы видели, что ощущение как об­раз окружающей среды дает какое-то представление об основных ее свойствах. Жизненно важными для субъекта характеристиками окружающих объектов являются их форма, уда­ленность, скорость их перемещения и расстояние между ними. Если оценка свойств поверхности тел, создава ...

Восприятие пространства
С усложнением образа окружающего мира его пространственные характеристики приобретают еще большее значение по срав­нению с их отражением на уровне ощущений. Возникновение образа объекта только и возможно при дифференциации пространства с соответствующим вы­делением в нем размеров, форм и взаимной у ...

Появление первой учебной литературы
В середине XVI века в эпоху царствования Ивана Грозного книгопечатание проникает в Московское государство. Введение книгопечатания в Москве - результат социально-экономического развития феодального общества Руси XVI века. Развитие производства и ремесла создавало необходимые технические предпосылки ...