Методика решения уравнений и неравенств

Докажем единственность отрицательного корня. Можно поступить следующим образом. Рассмотрим функции

.

Докажем, что если , то . (Из этого будет следовать наше утверждение, поскольку в данном случае возрастает везде, где .)

Имеем

.

Значит, при .

Утверждение доказано.

2. Найти все целые значения x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Область определения левой части неравенства . Значит, нам достаточно рассмотреть три значения x: 1, 2, 3.

Если , то левая часть равна .

Если , то .

Если , то .

Ответ. 1; 2.

3. Найти все целые x, удовлетворяющие неравенству

.

Решение. Рассмотрим функцию .

Докажем, что, начиная с некоторого x, f (x) возрастает. Это можно было сделать обычным путем, оценивая производную. Мы сделаем иначе. Нам достаточно доказать возрастание функции для целых x, т.е. что

.

Имеем

.

Последнее неравенство выполняется при , т.е. для всех допустимых целых x.

Нам осталось найти наибольшее целое, для которого (или наименьшее, для которого ).

Докажем, что

. Далее,.

Ответ. -1, 0, 1, 2 [22].

Тригонометрические уравнения.

К нестандартным следует отнести также уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

1. Решить уравнение:.

Решение. По определению обратных тригонометрических функций

. Найдем .

Эта задача сводится к следующей: «Найти cos α, если и

()».

Великая педагогика:

Технология коллективной мыследеятельности
Д. Г. Левитес в 1990 году познакомился с технологией коллективной мыследеятельности (КМД) в Нижнем Новгороде на семинаре. Автор этой дидактической системы — профессор К. Я. Вазина, заведующая кафедрой «Деятельность» Нижегородского межобластного института повышения квалификации работников профтехобр ...

Изучение арифметических действий и их свойств в различных системах обучения
В программе Моро М.И. уделяется значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, во многих случаях доведенных до автоматизма навыков вычислений, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, осознание тех ...

Формы и методы группового воспитания трудных детей в начальной школе
Для руководства учебно-воспитательным процессом и корригирования отклонений в поведении школьников совершенно необходимо знать закономерности развития личности учащегося. В этом едином и сложном целом различаются 3 основные стороны: во-первых, процессы органического созревания организма, в первую о ...