Методика решения уравнений и неравенств

Страница 2

и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает). {LINKS}

Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ. x = 4 .

Уравнения вида

f(

f (

x) ) =

x

. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f(x) = x (А)

и

f (f (x)) = x (Б)

эквивалентны.

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x0) = x0, то f (f (x0)) = f (x0) = x0.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x0 такое, что f (f (x0)) = x0.Предположим, что f (x0) ≠ x0 и для определенности f (x0) > x0. Тогда f (f (x0)) > f (x0) > x0, что противоречит предположению ( f (f (x0)) = x0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f (x) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

1. Решить уравнение:.

Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение: .

Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где .

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,

.

Ответ. [14].

3. Решить систему уравнений:.

Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку

при всех t, то f (t) возрастает.

Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или

.

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Великая педагогика:

Организация содержания игр и упражнений для развития сенсорной сферы детей младшего дошкольного возраста
Сенсорное воспитание – это развитие восприятия ребенком и формирование представлений о внешних свойствах и качествах предметов: форме, цвете, величине, положении в пространстве, запахе, вкусе и так далее. С восприятия предметов и явлений окружающего мира начинается познание ребенка. Поэтому нормаль ...

Особенности формирования и развития грамматических навыков
Процесс обучения активным грамматическим навыкам характеризуется тем, что он проходит ряд этапов, из которых каждый имеет свою частную задачу. Этапы обучения навыкам соответствуют психологическим фазам формирования навыков. Миролюбова А.А., Рахманова И.В. выделяют следующие этапы: Подготовительный ...

Распределение программного материала и содержание работы
Учителя начальных классов имеют основной необходимый для работы государственный документ – программы по всем предметам учебного плана, в том числе и по русскому языку. Русский язык имеет свои специфические особенности в распределении программного материала во времени. Так, например, в первом классе ...

Категории

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.zelgo.ru