Методика решения уравнений и неравенств

Страница 2

и доказать, что при t > 1 . Покажем другой способ:

.

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид: , значит, . Слева функция возрастающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: x = 4.

Ответ. x = 4 .

Уравнения вида

f(

f (

x) ) =

x

. При решении уравнений указанного вида полезна бывает теорема:

Если y = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f(x) = x (А)

и

f (f (x)) = x (Б)

эквивалентны.

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если

f (x0) = x0, то f (f (x0)) = f (x0) = x0.). Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть x0 такое, что f (f (x0)) = x0.Предположим, что f (x0) ≠ x0 и для определенности f (x0) > x0. Тогда f (f (x0)) > f (x0) > x0, что противоречит предположению ( f (f (x0)) = x0). Теорема доказана.

Верна ли теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если y = f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения и f (x) = x эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

1. Решить уравнение:.

Решени е. Перепишем уравнение . Рассмотрим функцию . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f (f (x)) =x. В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение f (x) = x или .

Ответ.

.

2. Решить уравнение:

.

Решение. Преобразуем уравнение: .

Данное уравнение имеет вид: f (f (x)) = x, где .

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение: ,

.

Ответ. [14].

3. Решить систему уравнений:.

Решение. Рассмотрим функцию . Поскольку

при всех t, то f (t) возрастает.

Система имеет вид y = f (x), z = f (y), x = f (z), т.е. x = f (f (f (x))).

Согласно теореме x удовлетворяет уравнению f (x) = x или

.

Ответ. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7

Великая педагогика:

Общая характеристика основных казахских инструментов
В настоящее время известно более 50-ти видов казахских музыкальных инструментов. Каждый инструмент имеет свойственное только ему звучание и традиционные приемы исполнения. Для изготовления музыкальных инструментов использовались: дерево, камыш, тростник, кожа, кости, рога, конский волос. В традицио ...

Профессиональное воспитание специалиста по социальной работе
Процесс становления специалиста – сложный, непрерывный процесс проектирования личности. Неотъемлемой частью этого процесса является осведомленность личности о своей будущей профессии, которая способствует развитию активности студента, формированию мотивационной установки в профессиональном обучении ...

Опыт использования компьютерных технологий на уроках физической культуры в старших классах
Анализ литературных источников показал, что часто используемые компьютерные технологии представляют собой информационные аудио- и видеопрограммы, динамические иллюстративные материалы. Применяя компьютерные технологии, учитель делает акцент на возможность их комплексного использования, т.е. на сост ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.zelgo.ru