Особенности решения задач с параметрами

Общеизвестно, что на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задачи, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.

Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако овладение методикой их решения мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены.

Уравнения и неравенства с параметрами.

В подобного рода задачах встречаются два вида символов: неизвестные или переменные (обычно обозначаются буквами x, y, z,…) и параметры (a,b,c,…). Конечно разница между ними весьма условна, в известной степени можно сказать, что параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.

Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств.

1. Решить уравнение:.

Решение. Возводим обе части в квадрат (условие ):

Еще раз возводим в квадрат (условие ). Получаем окончательное уравнение

,

среди решений, которого надо найти те, для которых Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного , но зато является квадратным относительно параметра . Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:

Найдем дискриминант:

Теперь левая часть уравнения раскладывается на множители

Наше уравнение распадается на два:

и ,

каждое из которых надо решить при условии, что

Начнем с уравнения . Поскольку то из того, что , следует, что . Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых ; тогда неравенство будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна ; следовательно, уравнение может иметь лишь один неотрицательный корень при условии . Значит, при будет .

Перейдем ко второму уравнению . Из этого уравнения . Левая часть неположительная, правая неотрицательная. Равенство возможно лишь, если .

Ответ. Если , то ;

если , то ;

при остальных решений нет .

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни сумма которых равна нулю?

Решение. Это уравнение – квадратное, его дискриминант

.

Сумма корней уравнения равна и по условию задачи она равна нулю, т.е. , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях . При дискриминант положителен, тогда как при дискриминант оказывается отрицательным.

Великая педагогика:

Совершенный человек как цель народного воспитания
Народный идеал совершенного человека следует рассматривать как суммарное, синтетическое представление о целях народного воспитания. Цель, в свою очередь, является концентрированным, конкретным выражением одной из сторон воспитания. Идеал - универсальное, более широкое явление, выражающее самую общу ...

Апробирование педагогических условий по развитию творческой активности школьников
В нашей работе мы определили психолого-педагогические условия по формированию творческой активности учащихся, которые были реализованы в учебно-воспитательном процессе. Мы использовали различные задания и упражнения, которые опираются на различные аспекты проявления творческой активности учащихся. ...

Практические упражнения для развития наблюдательности, фантазии и воображения
Для художника рисунок служит одновременно средством познания и тем предметно-образным языком, при помощи которого он общается со зрителем, воздействует на него, передает свое отношение к действительности. Органы зрения, воспринимая внешний мир, дают возможность нашему сознанию ощущать разнообразные ...