Производная и ее применение

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х0 со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f (х) — f (х0) через разность х — х0, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.

Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х — х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х;. Таким образом,

∆х=х-х0,

откуда следует, что х=х0+∆х

Говорят также, что Первоначальное значение аргумента х0 получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f(x) – f(x0) = f(x0+∆х) – f(x0)

Эта разность называется приращением функции f в точке х0, соответствующим приращению ∆х, и обозначается символом ∆f (читается «дельта эф»), т. е. по определению

∆f = f(x0+∆х) – f(x0)

откуда

f(x) = f(x0+∆х) = f(x0) ∆f

Обратите внимание: при фиксированном x0 приращение ∆f есть функция от ∆х.

∆f называют также приращением зависимой переменной и обозначают через ∆у для функции y = f(x).

Пример: Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ∆V, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна ∆х. По определению приращения х = a + ∆x, тогда

Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл приращений ∆х и ∆f (приращение ∆f обозначают также ∆у) можно понять, рассмотрев рисунок 80.

Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции l, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х0; y0) и (х; у), равен .

Его удобно выразить через приращения ∆х и ∆у.

(Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx+b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.)

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0;t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата х(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0 + ∆t; t0]). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно х (t0) — x(t0 + ∆x); длительность промежутка времени равна —∆t, и, следовательно,

Аналогично выражение называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x0 и x0+∆х.

Первообразная и интеграл

Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна 0, т. е. u (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь

(1)

Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:

Великая педагогика:

Историографический анализ состояния исследуемой проблемы
Система образования - это система программирования и перепрограммирования общества. Считается, что именно в возрасте от 7 до 20 лет у среднего человека наиболее просто сформировать базовую платформу мировоззрения из основных достижений человечества. Конец ХХ века - это время информационного взрыва, ...

Модели личностно-ориентированного подхода в обучении русскому языку
1. Модульное обучение и его элементы активно используются в практике преподавания русского языка. Модульное обучение базируется на деятельностном подходе к обучению: только то учебное содержание осознано и прочно усваивается учеником, которое становится предметом его активных действий. Модульное об ...

Определение задачи. Классификация и функции задач в обучении
Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии математического мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практическом ...