Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость — это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д. {LINKS}
При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х0 со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f (х) — f (х0) через разность х — х0, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл.
Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х — х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х;. Таким образом,
∆х=х-х0,
откуда следует, что х=х0+∆х
Говорят также, что Первоначальное значение аргумента х0 получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину
f(x) – f(x0) = f(x0+∆х) – f(x0)
Эта разность называется приращением функции f в точке х0, соответствующим приращению ∆х, и обозначается символом ∆f (читается «дельта эф»), т. е. по определению
∆f = f(x0+∆х) – f(x0)
откуда
f(x) = f(x0+∆х) = f(x0) ∆f
Обратите внимание: при фиксированном x0 приращение ∆f есть функция от ∆х.
∆f называют также приращением зависимой переменной и обозначают через ∆у для функции y = f(x).
Пример: Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ∆V, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна ∆х. По определению приращения х = a + ∆x, тогда
Рассмотрим график функции y = f(x). Геометрический смысл приращений ∆х и ∆f (приращение ∆f обозначают также ∆у) можно понять, рассмотрев рисунок 80.
Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции l, называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х0; y0) и (х; у), равен .
Его удобно выразить через приращения ∆х и ∆у.
(Напомним, что угловой коэффициент прямой y = kx+b равен тангенсу угла а, который эта прямая образует с осью абсцисс.)
С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0;t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата х(t), то
Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0 + ∆t; t0]). В самом деле, в этом случае перемещение точки равно х (t0) — x(t0 + ∆x); длительность промежутка времени равна —∆t, и, следовательно,
Аналогично выражение называют средней скоростью изменения функции на промежутке с концами x0 и x0+∆х.
Первообразная и интеграл
Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела равна 0, т. е. u (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь
(1)
Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:
Великая педагогика:
Диалог как первичная форма речевой коммуникации
Диалог - это разговор двух или нескольких лиц. Диалог (от греческого разговор, беседа) – форма речи, состоящая из регулярного обмена высказываниями-репликами, на языковой состав которых взаимно влияет непосредственное восприятие речевой деятельности говорящих. Основной единицей диалога является диа ...
Введение в социальную работу
Тема моего сообщения звучит как аксиома, как утверждение, не требующее доказательств. Между тем, в реальности, все обстоит не так: здоровье на сегодняшний день все еще не стало педагогической категорией, но, очевидно, что и педагогическому сообществу, и гражданскому обществу сегодня необходимо сдел ...
Способы формирования знаний у обучающихся о здоровом образе жизни
Режим дня необходимо соблюдать всем людям. Соблюдение режима дня помогает правильно распределить время. Детский педиатр Д.Т. Сургунов подчеркивал: «Режим – это правильное чередование периодов работы и отдыха, их продолжительность, рациональное распределение времени в течение дня, недели, месяца, го ...