Правила и теоремы теории вероятностей

Формула Бейеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) ве­личины P(Bk), k = 1, . , п.

Найдем условную вероятность РA(Вk).

По теореме умножения вероятностей и формуле (3) имеем:

Отсюда:

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(k=1, 2, …, n). (7)

Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)

Пример. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Введем обозначения для событий:

А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание;

B1 - человек придерживался специальной диеты;

В2 - человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Р(В1) = Р(В2) = 0,5,

(A) = 0,31, (A) = 0,48.

Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = 0,5 ∙ 0,31 + 0,5 ∙ 0,48 = 0,395

и, наконец, в силу формулы (7) искомая вероятность

.

Таким образом, можно привести много разнообразных примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Она занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Для решения задач по теории вероятностей следует применять следующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножения вероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса).

Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс.

Великая педагогика:

Особенности педагогического контроля усвоения содержания образования и оценка результатов образовательного процесса
Контроль знаний учащихся как основной элемент оценки качества образования Особенности педагогического контроля и оценки успеваемости учащихся Контроль знаний учащихся как основной элемент оценки качества образования Контроль знаний учащихся является одним из основных элементов оценки качества образ ...

Средства логопедической ритмики как основа коррекции речи дошкольников на музыкальных занятиях
Особая роль в комплексе коррекционных мероприятий намузыкальных занятиях с детьми с нарушениями речи отводится развитию двигательных функций, так как по данным ряда авторов (Г.А.Волкова, Е.А.Медведева, Г.Р. Шашкина) ранняя стимуляция моторного развития и коррекция двигательных нарушений могут спосо ...

Развитие произвольного поведения у детей с общим недоразвитием речи
С целью выявления особенностей развития произвольного поведения детей с нарушением речи дадим психолого-педагогическую характеристику детей с нарушением речи. Несмотря на различную природу дефектов, у детей с нарушением речи имеются типичные проявления, указывающие на системное нарушение речевой де ...