Правила и теоремы теории вероятностей

Формула Бейеса

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается: как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) ве­личины P(Bk), k = 1, . , п. {LINKS}

Найдем условную вероятность РA(Вk).

По теореме умножения вероятностей и формуле (3) имеем:

Отсюда:

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(k=1, 2, …, n). (7)

Формулу(7) называют формулой Бейеса (Байеса)

Пример. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Введем обозначения для событий:

А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание;

B1 - человек придерживался специальной диеты;

В2 - человек принадлежал к контрольной группе. Имеем

Р(В1) = Р(В2) = 0,5,

(A) = 0,31, (A) = 0,48.

Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = 0,5 ∙ 0,31 + 0,5 ∙ 0,48 = 0,395

и, наконец, в силу формулы (7) искомая вероятность

.

Таким образом, можно привести много разнообразных примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Она занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

Для решения задач по теории вероятностей следует применять следующие теоремы: сложения вероятностей несовместимых событий, умножения вероятностей, сложений вероятностей совместимых событий; формулы: полной вероятности, Бейеса (Байеса).

Одной из форм дифференцированного обучения по курсу теории вероятностей может являться факультативный курс.

Великая педагогика:

Анализ результатов проведения коррекции речи дошкольников на музыкальных занятиях
Проанализируем результаты первого этапа эксперимента. В ходе исследования обнаружено нарушение тембра голоса у дошкольников с ОНР, которое характеризуется огрубелостью, охриплостью и придыханием, оно обусловлено дисгармоничностью артикуляционного аппарата (Рисунок 2.1). Трое детей не смогли диффере ...

Описание опытно-экспериментальной работы по оптимизации двигательной активности детей 6-7 лет на физкультурных занятиях в ясли-сад №43
Цель формирующего эксперимента - внедрить систему физкультурных занятий с применением эффективных методов и приемов повышения двигательной активности детей. Эксперимент проходил в ясли-сад №43 ул. Зои-Космедимьянской 39 г. Барановичи, в двух подготовительных к школе группах: контрольной (КГ) и эксп ...

Индивидуализация воспитания трудных детей в начальной школе
Воспитательные воздействия влияют на ученика не прямо. Выдающийся советский психолог С. Л. Рубинштейн показал, что внешние причины действуют через внутренние условия. Под последними он понимал личность человека. Мы уже употребляли это понятие выше. Но сейчас есть смысл привести его определение. Лич ...