Теорема сложения вероятностей несовместимых событий
Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.
Испытание - стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком. {LINKS}
Аналогично суммой конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 + А2 + … + Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Ai (i = 1, ., k).
Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 А2 … Аk, , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.
Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1)
Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1 , U2, . , Un не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=, Р(В)=
, Р(А+В)=
откуда и следует утверждение теоремы.
Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.
Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:
Р(А)+Р()= 1
Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р(
) = Р (А +
). Событие А +
есть достоверное событие (ибо одно из событий А или
произойдет). Поэтому Р (А +
) =1.
В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = , синий Р(В) =
. Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме
Великая педагогика:
Технология концентрированного обучения
Данная технология представляет собой интерпретацию широко известного активного метода погружения. Погружение — метод обучения с элементами релаксации, внушения и игры. Этот метод с той или иной глубиной использовался В. Ф. Шаталовым, Ш. А. Амонашвили, А. Тубельским и др. В 1995 году Г. Ибрагимов ус ...
Малые фольклорные жанры, как средство развития речи детей младшего
дошкольного возраста
В последние годы, наряду с поиском современных моделей воспитания, возрастает интерес к фольклористике, возрождаются лучшие образцы народной педагогики. Фольклор - одно из действенных и ярких средств ее, таящий огромные дидактические возможности. Знакомство с народными произведениями обогащает чувс ...
Работоспособность учащихся профессионально-технических учебных заведений и приёмы её активизации
Вы не когда не задумывались о том, что такое работоспособность и от чего она зависит? Что заставляет некоторых людей трудится непокладая рук, а других при первой же возможности всячески избегать работы, чтобы лишний раз дать своему организму передохнуть? Людей, которые быстро устают, мы зачастую не ...