Правила и теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Испытание - стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 + А2 + … + Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Ai (i = 1, ., k).

Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 А2 … Аk, , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1)

Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1 , U2, . , Un не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=, Р(В)=, Р(А+В)= откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

Р(А)+Р()= 1

Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р() = Р (А + ). Событие А + есть достоверное событие (ибо одно из событий А или произойдет). Поэтому Р (А + ) =1.

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = , синий Р(В) = . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме

Великая педагогика:

Основные понятия о факультативном курсе
Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения. По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разн ...

Языковые и лексические игры при обучении немецкому языку
Место игр на уроке и отводимое игре время зависит от ряда факторов: а) подготовки учащихся; б) изучаемого материала; в) конкретных целей и условий урока. Если игра используется в качестве тренировочного упражнения при первичном закреплении, то ей можно отвести 20-25 минут урока. В дальнейшем эта иг ...

Рейтинговая система оценки достижений обучающихся
Особенности рейтинговой системы оценки знаний Основные принципы системы рейтинговой оценки знаний Особенности рейтинговой системы оценки знаний Изменение образования в соответствие с современными запросами общества должно сопровождаться изменением стратегии обучения, и, соответственно, способов оце ...