Правила и теоремы теории вероятностей

Страница 1

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Испытание - стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 + А2 + … + Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Ai (i = 1, ., k).

Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 А2 … Аk, , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1)

Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1 , U2, . , Un не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=, Р(В)=, Р(А+В)= откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

Р(А)+Р()= 1

Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р() = Р (А + ). Событие А + есть достоверное событие (ибо одно из событий А или произойдет). Поэтому Р (А + ) =1.

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = , синий Р(В) = . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме

Страницы: 1 2 3 4

Великая педагогика:

Средство экологического образования
Вопрос изучения природы и экология стоят на первом месте среди всех проблем, волнующих человечество. Поэтому необходимо вносить в общество экологическую культуру, экологическое воспитание. Большинство педагогов связывают экологическое воспитание детей дошкольного возраста лишь с привитием им любви ...

Различное понимание качества образования
При использовании в образовательном контексте понятие "качество" приобретает существенно иной смысл. Абсолютное понятие "высокого качества" не имеет ничего общего с системой управления качеством в образовании. Тем не менее, в ходе дискуссий по управлению качеством часто возникае ...

Народная сказка как средство обогащения экспрессивной лексики старших дошкольников
Народная сказка, являясь доступной пониманию ребенка старшего дошкольного возраста, является могучим средством формирования образности речи. Именно в русской народной сказке имеется наличие всех необходимых элементов образности, сказка оказывает большое воспитательное и обучающее влияние на ребенка ...

Категории

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.zelgo.ru