Правила и теоремы теории вероятностей

Р(А + В)= Р(А) + Р(В) = + = 0,8 .

Теорема умножения вероятностей

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми. {LINKS}

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть собы­тие А - вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = . После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В) = , т.е. события А и В- независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В) = ,если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается Р(В) = .

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.

Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Итак, в примере 1 РА(В) = .

Заметим, что если события А и В независимы, то РА (В )= Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

P(AB)= Р(А)РА(В). (2)

Доказательство.

Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда Р(АВ)= =.= Р(А)РА(В), что и доказывает искомое равенство (2).

Замечание. Применив формулу (2) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В)РВ(А). (3)

Так как АВ = ВА, то, сравнивая (2) и (3), получаем, что

Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).

Пример 2. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй разы белые шары? По формуле (2) имеем

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(ВА) = Р(А)Р(В).

Действительно, если А и В - независимые события, то РА (В) = = Р(В) и формула (2) превращается в формулу (4).

Великая педагогика:

Становление и развитие системы подготовки специалистов по социальной работе в Беларуси
Социальная работа как профессиональная деятельность начала складываться в Республике Беларусь в 90-ые годы. Предпосылкой этому послужило введение в 1991 году должности социального работника. Первым учебным заведением, осуществившим набор на специальность «социальная работа» в 1991 году стал Минский ...

Понятие грамматики и её компонентов
Прежде всего, чтобы быть компетентным в данной теме, необходимо рассмотреть ряд понятий. Одним из основных является понятие грамматики. Согласно статье Ж.Л. Витлина "Современные проблемы обучения грамматике иностранных языков", ни один из аспектов обучения языкам не был на протяжении мног ...

Внедрение здоровьесберегающих технологий в образовательный процесс школы
Состояние здоровья российских школьников вызывает серьезную тревогу специалистов. Наглядным показателем неблагополучия является то, что здоровье школьников ухудшается по сравнению с их сверстниками двадцать или тридцать лет назад. При этом наиболее значительное увеличение частоты всех классов болез ...