Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Психолого-педагогические особенности и проблемы проведения контрольных процедур
Поощрение и наказание как методы стимулирования Педагогическая оценка как стимул Эффективность педагогической оценки Поощрение и наказание как методы стимулирования Какие бы мотивы и интересы, проявляющиеся в учении и в воспитании детей, мы ни рассматривали, все они в конечном счете сводятся к сист ...

Экспериментальная работа по обучению рассказыванию
Результаты констатирующего экспериментального исследования показали, что дети с ОНР III уровня способны к пересказу коротких текстов, составлению рассказов по сюжетным картинкам, к рассказыванию из личного опыта, к рассказыванию по данному началу, но все-таки это еще значительно отличается от связн ...

Формирующий эксперимент по реализации программы условий позитивного влияния СМИ на развитие личности подростка
Средства массовой информации в целом оказывает заметное влияние на самые различные аспекты воспитания и просвещения подростков, а также прямо и косвенно воздействуют на формирование их мировоззрения, на эстетический вкус. На формирующем этапе опытно-экспериментальной работы нами была поставлена цел ...