Методика решения уравнений и неравенств

Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

1. Решить уравнение:.

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая- не меньше 2. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т.е. x = 0. {LINKS}

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай – уравнения вида f (x) = φ (x), для которых при всех допустимых x (формально мы можем переписать это уравнение в виде

f (x) = φ (x) = 0, в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

2. Решить уравнение:.

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем к следствию (потенцируем): .

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

:

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Ответ. Нет решения.

3. Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что .

Пусть для определенности x5 > x4, тогда из первых двух уравнений получим , откуда и тем более . Далее из третьего и четвертого получаем и тем более . Из последней пары находим . Получилось противоречие ( и , т.е. , а предположили, что ).

Значит, , отсюда и т.д., все неизвестные равны между собой.

Ответ. (0, 0, 0, 0,0); .

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами.

К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном промежутке. Рассмотрим несколько примеров.

1. Доказать, что уравнение имеет одно положительное решение и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при , где f (x)-левая часть заданного уравнения, т.е. f(x) при монотонно возрастает, а .

Великая педагогика:

Особенности педагогического контроля и оценки успеваемости учащихся
Закон Российской федерации "Об образовании" провозглашает в качестве одного из основных принципов государственной политики адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития учащихся. Педагогический контроль (ПК) является важнейшим компонентом педагогической системы и част ...

Развитие произвольного поведения у детей с общим недоразвитием речи
С целью выявления особенностей развития произвольного поведения детей с нарушением речи дадим психолого-педагогическую характеристику детей с нарушением речи. Несмотря на различную природу дефектов, у детей с нарушением речи имеются типичные проявления, указывающие на системное нарушение речевой де ...

Средства обучения математике
В дидактике термин "средства обучения" не имеет достаточно четкого определения и подчас трактуется весьма расширительно, благодаря семантике слова "средство" в русском языке. В результате к средствам обучения иногда относят даже содержание образования (И.Я. Лернер), которое &quo ...