Правила и теоремы теории вероятностей

Р(А + В)= Р(А) + Р(В) = + = 0,8 .

Теорема умножения вероятностей

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми. {LINKS}

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть собы­тие А - вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = . После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В) = , т.е. события А и В- независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В) = ,если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается Р(В) = .

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.

Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Итак, в примере 1 РА(В) = .

Заметим, что если события А и В независимы, то РА (В )= Р(В).

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

P(AB)= Р(А)РА(В). (2)

Доказательство.

Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют событию В, а значит, и событию АВ. Тогда Р(АВ)= =.= Р(А)РА(В), что и доказывает искомое равенство (2).

Замечание. Применив формулу (2) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В)РВ(А). (3)

Так как АВ = ВА, то, сравнивая (2) и (3), получаем, что

Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).

Пример 2. В условиях примера 1 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй разы белые шары? По формуле (2) имеем

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(ВА) = Р(А)Р(В).

Действительно, если А и В - независимые события, то РА (В) = = Р(В) и формула (2) превращается в формулу (4).

Великая педагогика:

Оптимизация двигательной активности по мнению ученых и исследователей
Особое внимание уделяется использованию физических упражнений на свежем воздухе в разных формах - физкультурные занятия, спортивные упражнения, упражнения на прогулке в летнее время, подвижные игры (Л.В.Карманова, В.Г.Фролов, О.Г.Аракелян, Г.В.Шалыгина, Е.А.Тимофеева и др.). Авторами этих исследова ...

Половое воспитание и психосексуальное здоровье несовершеннолетних
Приходится с сожалением констатировать тот факт, что современная психолого-педагогическая наука и практика совершенно неоправданно недооценивают остроты проблем полового воспитания и межполовых отношений юношества. Известно, что эти проблемы всегда был, достаточно актуальными: стоит пересмотреть до ...

Анализ педагогического опыта по применению проектной методики в процессе преподавания иностранного языка
Л.А. Глацкова, преподаватель английского языка школы № 44 г. Иркутска, долгое время работала по проектной методике и разработала международный телекоммуникационный образовательный археологический проект “Global Village – Fort Ross” в рамках внеклассной работы по воспитанию чувства гражданственности ...