Правила и теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий

Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Испытание - стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В - попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком. {LINKS}

Аналогично суммой конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 + А2 + … + Аk, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Ai (i = 1, ., k).

Произведением событий А и В называют событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А1 , А2, ., Аk называют событие А = А1 А2 … Аk, , состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (1)

Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - I элементарных событий. Так как А и В - несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U1 , U2, . , Un не может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероятности Р(А)=, Р(В)=, Р(А+В)= откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

Р(А)+Р()= 1

Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р() = Р (А + ). Событие А + есть достоверное событие (ибо одно из событий А или произойдет). Поэтому Р (А + ) =1.

В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Вероятность вынуть красный шар Р(А) = , синий Р(В) = . Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме

Великая педагогика:

Педагогическое творчество как фактор развития педагогических способностей
Основное содержание деятельности преподавателя включает в себя выполнение нескольких функций — обучающей, воспитывающей, организующей и исследовательской. Они воспринимаются в единстве, хотя у многих одни довлеют над другими. Педагогические цели часто побуждают к глубоким обобщениям и систематизаци ...

Организация исследования профессионального самоопределения старшеклассников
Проблема профессионального самоопределения носит фундаментальный характер, ибо она затрагивает общую проблему жизненного становления личности. Теоретический анализ литературы показывает, что на профессиональное самоопределение старшеклассника влияют социальные среды выбора профессии. Процесс выбора ...

Форма проявления
Явная – одаренность, проявляющаяся в деятельности ребенка ярко и отчетливо. Скрытая – проявляется в скрытой, завуалированной форме. Степень сформированности. Потенциальная – одаренность, которая представляет собой лишь определенные возможности, потенциал для высоких достижений, но не реализованная ...