Функции и графики

Страница 1

Пусть даны две переменные х и у. Говорят, что переменная у является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого, значения х однозначно определить значение у.

Примеры функций:

1. y = kx+b.

2. у= |х|.

3. у = х2.

4. у= 1/х, х>0

5. у = √х.

В каждом из этих примеров указана формула, позволяющая для каждого значения переменной х однозначно вычислить значение переменной у.

Для того чтобы задать функцию, нужно:

указать множество всех возможных значений переменной х. Это множество, которое мы будем обозначать D, называют областью определения функции;

указать правило, по которому каждому числу х из множества D сопоставляется число у, определяемое числом х. Это число у называется значением функции в точке х. Переменную х называют аргументом.

Функция обычно обозначается одной буквой, например f. Значение функции f в точке х обозначается f (х).

Итак, если задана функция f, то задано множество чисел D и каждому числу xD сопоставлено число y = f(x).

Пусть задана функция f. с областью определения D. Рассмотрим координатную плоскость. По оси абсцисс будем откладывать значение аргумента, а по оси ординат — значение функции. Для каждого числа xD можно вычислить y = f(x) и построить точку М (х; f (х)). Множество всех таких точек образует кривую, называемую графиком функции / в заданной системе координат.

Итак, графиком функции f называется множество точек плоскости с координатами (х; f(х)), где х пробегает область определения функции f.

На рисунке 2 изображены графики функций, которые были приведены в качестве примера в начале параграфа.

Рассмотренные нами ранее простейшие зависимости определяют три важнейшие функции:

Эти функции являются стандартными примерами функций из трех классов, с которыми мы будем часто сталкиваться в дальнейшем: линейных, дробно-линейных и квадратичных.

Рис. 2

Для того чтобы определить переменную у как функцию от переменной х, нужно задать множество значений аргумента х и указать правило вычисления значений у в зависимости от х. Сначала обсудим, как задается правило вычисления значений. Во всех приведенных ранее примерах правило вычисления задавалось формулой, содержащей определенные операции.

Обучаясь математике, мы знакомились с различными действиями, операциями над числами. Например, используя только сложение и умножение, мы можем из числа х получить новые числа, скажем 3х, 3х + 5, х3 + 3х + 5 и т. д. Уже такого рода выражения, многочлены, могут служить для построения довольно богатого запаса функций.

Использование деления сильно расширяет этот запас, позволяет образовать выражения вида и т. п. Функции, которые строятся как отношения многочленов, называют рациональными.

Операция деления отличается от сложения и умножения тем, что она не всегда определена — в знаменателе дроби нельзя ставить нуль. Поэтому, например, в выражение можно подставить любые числа, кроме х=1 и х=-1, при которых знаменатель равен нулю.

Появление новых операций и введение специальных знаков для их обозначения приводят к дальнейшему обогащению наших возможностей — извлечение корня, переход к модулю числа и т. п.

Например, пусть f (х) равно числу —1, если х<0, равно нулю, если х = 0, и равно 1, если х>0. Этими словами мы описали некоторое правило вычисления, применимое к любому числу. Обозначим число f (х), найденное по этому правилу, через sgn х (от латинского слова signum, что означает «знак»). Теперь мы с помощью символа для обозначения новой операции можем строить новые формулы, например

Если функция задана формулой и не указано никаких ограничений, ее областью определения считается множество всех значений аргумента, при которых выполнимы все операции, участвующие в этой формуле. Это множество называют естественной областью определения данной функции.

Так, естественной областью определения функции является множество чисел х, для которых , т. е. промежуток [— 1; 1].

Страницы: 1 2

Великая педагогика:

Значение развития психофизических качеств у детей 6-7 лет
Воспитание психофизических качеств - необходимое условие полноценного физического развития дошкольников. Чтобы ползать, ходить, бегать, прыгать, метать - нужно обладать соответствующими двигательными качествами, которые необходимо развивать. Изучением того, что представляют собой психофизеские каче ...

Влияние занятий по изобразительной деятельности на развитие навыков пейзажного рисования
Итоги констатирующего эксперимента позволили спроектировать дальнейшую работу по развитию навыков пейзажного рисования на занятиях для детей старшего дошкольного возраста. Для этого, в рамках формирующего эксперимента, были поставлены следующие задачи: Разработать и апробировать систему занятий, сп ...

Проблема качества образования как проблема контроля и оценки образовательной деятельности
Сегодня большинство стран Центральной и Восточной Европы, в том числе и Россия, выработали основы политики контроля и оценки образовательной деятельности в рамках глобальной реформы систем образования своих стран. Эти страны приступили к определению норм (стандартов) при разработке программ обучени ...

Категории

Copyright © 2018 - All Rights Reserved - www.zelgo.ru