Методика преподавания элементов теории вероятностей

Это утверждение допускает два важных обобщения:

если события А1 А2, Аn— несовместны, то

(A1,A2,,Аn) (А1) (А2) (Аn) если два события совместны, то

( ( ( (АВ) сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу событий, равна единице: {LINKS}

(А1) (А2) (Аn) сумма вероятностей противоположных событий равна единице,

Из этой формулы можно получить следствие вероятности противоположного события по известной вероятности.

Теорема сложения вероятностей для случая совместных событий может рассматриваться как основа мотивации изучения теоремы умножения вероятностей. Действительно, формуле, выражающей математическую формулировку теоремы вероятности двух несовместных событий, имеется слагаемое (АВ) которое не выражено через вероятности ( ( ( ( ( (АВ)

Изучение теоремы умножения вероятностей начинается введения понятия «условной вероятности» Введению этого понятия предшествует обсуждение вопроса зависимости них событий от других. По определению, событие называется зависимым от событий В1,В2, Bk, если вероятность события зависит от того, произошли или не произошли события В1, В2, Bk. противном случае событие называется независимым. Если события В1, В2, Bk произошли, то вероятность события вычисленная при этих условиях, называется условной обозначается (В1, В2, Bk) Если вероятность события вычисляется вне связи событиями B1, B2, Bk, то она называется безусловной. Таким образом, получаем, что если событие зависит от события то (│ (если не зависит, то (│ (

Рассмотрим пример, позволяющий уяснить смысл понятия условной вероятности.

Пример: урне белых черных шара. Определить вероятность того, что два последовательно вынутых шара окажутся разных цветов, если один из них белый.

Пусть событий «оба вынутых шара разных цветов» «один из шаров белый» принятых обозначениях ставится задача вычисления вероятности задачах на вычисление условных вероятностей важно правильно определить полную группу событий. В данном примере полная группа событий включает все различные пары, содержащие хотя бы один белый шар. Так как количество шаров невелико, полную группу событий можно задать перечислением: где событие, состоящее том, что извлечен первый белый второй черный шар. Следовательно, искомая вероятность соответствии классическим определением равна

Теперь можно переходить формулировке теоремы умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Необходимо подчеркнуть, что общем случае доказать эту теорему невозможно, теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Из доказанной теоремы получаются следствия:

• симметричность независимости событий если событие не зависит от события то событие не зависит от события

• если события независимы, то (ВА)

Рассмотрим пример применения теоремы умножения вероятностей.

Пример ящике находятся белых черных шара. Последовательно вынимаются два шара без возвращений. Определить вероятность того, что оба шара белые. Рассмотрим следующие события «первый шар белый» «второй шар белый» Требуется определить вероятность события =АВ. соответствии теоремой (АВ) Определим соответствующие вероятности ак как при извлечении первым белого шара количество белых шаров урне станет при общем числе шаров.

Для иллюстрации применений теоремы умножения вероятностей случае независимых событий можно рассмотреть следующий комплексный пример.

Изученные теоремы дают возможность получить важные утверждения теории вероятностей формулу полной вероятности формулу Байеса.

Рассмотрим систему из попарно несовместных событий В1, В2, Bk, образующих полную группу событий, где невозможное событие. Пусть дано событие удовлетворяющее равенству В1А В2А BkA. Показав попарную несовместность событий В1 В2А, BkA, найдем вероятность наступления события Любое событие, входящее обязательно входит некоторое, но одно Вi так как B1 B2, Вk образуют полную группу, тогда. Полученная формула называется формулой полной вероятности. Довольно часто можно встретить подходы, при которых события Bt называются гипотезами обозначаются Нi, тогда формула полной вероятности может быть переписана.

Великая педагогика:

Индивидуальный подход к одаренным детям
Одаренные дети представляют собой совершенно особую часть детского населения, которой требуется индивидуализированное обучение. Необходимо уделять больше внимания развитию у детей творческих способностей, интеллектуальной инициативы, критического мышления, социальной ответственности и качеств беско ...

Сущность и структура личностно – ориентированного обучения
Одним из двух главных компонентов целостного педагогического процесса является процесс обучения (учебный процесс) - сложный, уступающий, быть может, только процессам воспитания и развития. Дать полное и всестороннее определение его сущности очень трудно, ибо он включает большое число разнообразных ...

Обучение детей ориентированию в малом пространстве
Все дети разного возраста пришли в детский сад из семей, где получили различное воспитание и имели различные умения. Практически весь первый год работы с детьми, несмотря на разницу в их возрасте, мы работали со всеми по первому уровню (см. выше). Он предусматривает развитие предметной деятельности ...